bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour cet exercice SVP.​

Réponse :

soient  a , b ∈ R   tels que :  |(3 a - 11)/(a - 2)| < 2  et  |(2 b - 3)/(b+1) - 5| < 1

1) montrer que :    3 < a < 7   et   - 6 < b < - 2  

|(3 a - 11)/(a - 2)| < 2    on pose  A = (3 a - 11)/(a - 2)

si A > 0   alors  (3 a - 11)/(a - 2) < 2  ⇔ 3 a - 11 < 2(a - 2)

⇔ 3 a - 11 < 2 a - 4   ⇔  3 a - 2 a < - 4 +11   ⇔ a < 7

si A < 0   alors   - (3 a - 11)/(a - 2) < 2  ⇔ - 3 a + 11 < 2 a - 4

⇔ - 5 a < - 15   ⇔ a > 15/5   ⇔ a > 3

donc  on a bien   3 < a < 7

 |(2 b - 3)/(b+1) - 5| < 1  ⇔ |(- 8 - 3 b)/(b+1)| < 1    on pose  B = (- 8 - 3 b)/(b+1)

si B > 0   alors  (- 8 - 3 b)/(b+1) < 1  ⇔ - 8 - 3 b < b + 1   ⇔ - 4 b < 9

⇔  b > - 9/4 > - 6    donc   b > - 6

si B < 0   alors  - (- 8 - 3 b)/(b+1) < 1  ⇔ 8 + 3 b < b + 1   ⇔ 2 b < - 7

⇔ b < - 7/2 < - 2   donc b < - 2

donc  on obtient    - 6 < b < - 2

2) encadrer les nombres  a + b + 1  et ab

            3 < a < 7

         - 6 < b < - 2

       .................................

       3 - 6 < a + b < 7 - 2    ⇔  - 3 < a + b < 5   ⇔ 1 - 3 < a + b + 1 < 5 + 1

⇔ - 2 < a + b + 1 < 6

           3 < a < 7

         - 6 < b < - 2

      .............................

       3 x - 6 < a x b < 7 x - 2    ⇔   - 18 < ab < - 14

3) en déduire une comparaison des deux nombres

          2 a + b  et  √(3 a² + b² + 3 ab)

          3 < a < 7    ⇔  6 < 2 a < 14

       - 6 < b < - 2   ⇔ - 6 < b < - 2

                                 ............................

                                  0 < 2 a + b < 12

             3 < a < 7    ⇔  3² < a² < 7²   ⇔ 27 < 3 a² < 149

       - 6 < b < - 2   ⇔ (- 6)² < b² < (- 2)² ⇔ 2 < b² < 36            

- 18 < ab < - 14  ⇔ - 54 < 3 ab < - 42

   2 < b² < 36  

- 54 < 3 ab < - 42    

....................................

- 52 < b² + 3 ab < - 6

 27 < 3 a² < 149

...................................

- 25 < 3 a² + b² + 3 ab < 143

Explications étape par étape :