Bonjour j'ai du mal à cet exercice quelqu'un pourrais m'aider ?

Réponse :

g(x) = (3 x + 1)/(x - 9)    définie  sur   R \{9}

1)  3 x + 1  est dérivable sur  et  1/(x - 9) est dérivable sur son ensemble de définition donc la fonction g est le quotient de deux fonctions dérivables sur son ensemble de définition donc g est dérivable sur ]- ∞ ; 9[U]9 ; + ∞[

et sa dérivée  g '   est  g'(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²

 u(x) = 3 x + 1  ⇒ u'(x) = 3

 v(x) = x - 9  ⇒  v'(x) = 1

g '(x) = (3(x - 9) - (3 x + 1))/(x - 9)²

g '(x) = ( 3 x - 27 - 3 x - 1)/(x - 9)²

g'(x) = - 28/(x - 9)²

2) étudier le signe de g'(x) sur  ]-∞ ; 9[U]9 ; + ∞[

     g'(x) = - 28/(x - 9)²    or   (x - 9)² > 0   et - 28 < 0  donc  - 28/(x - 9)² < 0

donc g'(x) < 0

3) en déduire les variations de g  sur   ]-∞ ; 9[U]9 ; + ∞[

   g'(x) < 0  ⇒ g est décroissante sur ]-∞ ; 9[U]9 ; + ∞[

Explications étape par étape :