Bonjour à tous, est-ce que quelqu’un pourrait m’aider avec cet exercice de maths ? C’est pour mon grand oral svp!!

Bonjour,

1) Il faut résoudre l'équation différentielle : 2y' + y = 30

⇔ y' + y/2 = 15 (E)

Solution générale de l'équation sans second membre : y' + y/2 = 0 :

y = k.e^(-x/2)   avec k réel quelconque

Solution particulière de l'équation complète : y' + y/2 = 15

yp = 30 (on vérifie yp' = 0 et donc y'p + yp = 0 + 30/2 = 15)

Solution générale de l'équation complète :

f = y + yp = k.e^(-x/2) + 30

Condition initiale : il faut que f(0) = -25,000

⇒ k.e^(0) + 30 = -25 ⇒ k = -55

⇒ f(x) = 30 - 55e^(-x/2)

2) Voir Excel ci-joint

On vérifie bien que la somme des carrés des écarts entre valeurs observées et valeurs calculées est bien inférieure à 1.

3)a) f(x) ≥ 29,800

⇔ 30 - 55e^(-x/2) ≥ 29,800

⇔ 30 - 29,8 ≥ 55e^(-x/2)

⇔ 0,2 ≥ 55e^(-x/2)

⇔ e^(-x/2) ≤ 0,2/55

⇒ -x/2 ≤ ln(0,2/55)

⇔ x ≥ -2ln(0,2/55)

Soit x ≥ 11,... donc en 2009 + 12 = 2021

b) Non, car lim quand x → +∞ de f(x) = 30