Quelqu’un pourrait m’aider pour les deux dernière questions merci d’avance

Réponse :

V(x) = 4 x³ - 84 x² + 432 x

4) pour quelle(s) valeur(s) de x, la contenance de la boite est-elle maximale ?

V'(x) = 12 x² - 168 x + 432

       = 12(x² - 14 x + 36)    ⇒ V'(x) = 0  ⇔ V'(x) = x² - 14 x + 36 = 0

Δ = 196 - 144 = 52  

x1 = 14 + √52)/2 ≈ 10.6 ∉ [0 ; 9]  donc à exclure

x2 = 14 - √52)/2 ≈ 3.39 ≈ 3.4  ∈ [0 ; 9]  donc c'est une solution de l'équation

tableau de signes et de variations de V' et V  sur  [0 ; 9]

          x                0                            3.4                  9

  signe de V'                       +              0           -

variations de V    0 →→→→→→→→→→ ≈ 655 →→→→→→→ 0

                                 croissante                décroissante

5) l'industriel peut-il construire une boite dont la contenance

est ≥ 650 cm³ ? Justifier

d'après le tableau de variation pour x = 3.4 cm; la boite a une contenance maximale de 655 cm³ environ  

donc   V(x) ≥ 650 cm³  ⇔ 4 x³ - 84 x² + 432 x ≥ 650

pour  x = 3.05 cm ⇒ 4*3.1³ - 84*3.1² + 432*3.1

= 119.164 - 807.24 + 1339.2 = 651. 124 > 650 cm³

donc l'industriel  peut construire des boites de contenance ≥ 650 cm³

avec      3.1 ≤ x ≤ 3.4    

Explications étape par étape :