Bonjour tout le monde, je n’arrive pas à faire cette exo quelqu’un peut m’aider svp ?

Réponse :

Bonjour

Soit Pₙ la propriété : uₙ = 3 × 2ⁿ + 1

Démontrons que si Pₙ est vraie, Pₙ₊₁ est également vraie

Initialisation

u₀ = 4 et 3 × 2⁰ + 1 = 4

donc P₀ est vraie

Hérédité

Soit un certain n tel que :

uₙ = 3 × 2ⁿ + 1 (hypothèse de récurrence)

⇔ 2uₙ = 2(3 × 2ⁿ + 1)

⇔ 2uₙ = 3 × 2ⁿ⁺¹ + 2

⇔ 2 uₙ - 1 = 3 × 2ⁿ⁺¹ + 1

⇔ uₙ₊₁ = 3 × 2ⁿ⁺¹ + 1

Pₙ₊₁ est donc vraie

Conclusion

La propriété Pₙ est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout n