Bonjour, je bloque sur la récurrence, et j’espère que vous pourrez m’aider. On considère la suite (un) défini pour tout entier naturel par un+1= un+2n+3 et u0=

Bonjour,

Nous allons démontrer par récurrence que la proposition suivante est vraie

pour tout n entier, [tex]u_n=(n+1)^2[/tex]

Etape 1 - Initialisation

pour n = 0 [tex]u_0=1[/tex]

et [tex](0+1)^2=1^2=1[/tex]

Donc c'est vrai au rang 0

Etape 2 - Supposons que cela soit vrai au rang p et démontrons alors que cela reste vrai au rang p+1

Hypothese de Récurrence est [tex]u_p=(p+1)^2[/tex]

et nous devons montrer que [tex]u_{p+1}=((p+1)+1)^2=(p+2)^2[/tex]

Nous savons que

[tex]u_{p+1}=u_p+2p+3[/tex]

Utilisons l'hypothèse de récurrence [tex]u_p=(p+1)^2[/tex]

cela donne

[tex]u_{p+1}=(p+1)^2+2p+3[/tex]

Développons

[tex]u_{p+1}=(p+1)^2+2p+3=p^2+2p+1+2p+3=p^2+4p+4=(p+2)^2[/tex]

donc cela reste vrai au rang p+1

Etape 3 - conclusion

Nous venons donc de démontrer par récurrence que la proposition suivante est vraie

pour tout n entier, [tex]u_n=(n+1)^2[/tex]

Merci

Réponse :

Explications étape par étape :

■ Un+1 = Un + 2n+3 avec Uo = 1

■ U1 = 4 ; U2 = 9 ; U3 = 16 ; ...

■ ■ démo par récurrence :

Un+1 = Un + 2n+3 or on souhaite Un = (n+1)²

donc Un+1 = (n+1)² + 2n+3

                  = n²+2n+1 + 2n+3

                  = n² + 4n + 4 .

or on a aussi Un+1 = (n+1 + 1)² = (n+2)² = n² + 4n + 4 .

■ ■ ■ conclusion :

on a bien Un = (n+1)² .