Bonjour, Je dois faire l’exercice 1. Merci de m’aidez

Réponse :

Démontrer que (Un) est minorée par 2

∀n ∈ N,  on a ;  Un = n² - 2 n + 3

(Un) est minorée par 2  ⇔ Un ≥ 2

étudions le signe de Un - 2

Un - 2 = n² - 2 n + 3 - 2   ⇔ Un - 2 = n² - 2 n + 1  ⇔ Un - 2 = (n - 1)²

or  ∀n ∈ N  ⇒  (n - 1)² ≥ 0

donc  Un - 2 ≥ 0  ⇔ Un ≥ 2

Démontrer que (Vn) est majorée par 5

 ∀n ∈ N,   Vn = 5 n/(n + 1)

(Vn) est majorée par 5  ⇔ Vn ≤ 5

étudions le signe de Vn - 5

Vn - 5 = 5 n/(n+1)  - 5

          = 5 n/(n+1) - 5(n+1)/(n+1)

          = (5 n - 5 n - 5)/(n+1)

          = - 5/(n + 1)

or  n ≥ 0  ⇔ n + 1 > 1  ⇔ n + 1 > 0   et  - 5 < 0

donc Un - 5 ≤ 0    ⇔ ∀n ∈ N  on a;  Un ≤ 5    

Explications étape par étape :