bonjour pourriez vous m’aider sur cet exercice svp

Réponse :

Partie B

soit la fonction  f  définie sur R par f(x) = - 2 x³ + 26 x - 24

1) montrer que pour tout réel x,  f(x) = - 2(x - 3)(x + 4)(x - 1)

f(x) = - 2 x³ + 26 x - 24

    = - 2(x³ - 13 x + 12)

pour x = 1  ⇒ f(1) = - 2(1 - 13 + 12) = 0  ⇒ x = 1  est une solution

donc  on écrit  f(x) = - 2(x - 1)(a x² + b x + c)

                              = - 2(a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c)

                              = - 2(x - 1)(a x³ + (b - a) x² + (c - b) x - c)

a = 1

b - a = 0

c - b = - 13 ⇒ b = - 12 + 13 = 1

- c = 12  ⇒ c = - 12

donc  f(x) = - 2(x - 1)(x² + x - 12)

Δ = 1 + 48 = 49

x1 = - 1 + 7)/2 = 3

x2 = - 1 - 7)/2 = - 4

donc  f(x) = - 2(x - 1)(x - 3)(x + 4)

2) en déduire les racines de f sur R

  f (x) = 0  ⇔  S = {- 4 ; 1 ; 3}

3) dresser le tableau de signes de f sur R

        x     - ∞           - 4            1             3              + ∞

    x - 1              -              -      0      +             +

    x - 3             -              -               -     0       +  

    x + 4            -       0     +              +              +  

      - 2              -              -               -               -

      f(x)             +      0      -       0     +      0      -  

Partie C

a) lire f(3) et f '(3)

    f(3) = 2   et   f '(3) = - 3

b) f(1) = 4  et f '(1) = 1

c) f(0) = 2  et f '(0) = 3

2) existe t-il une valeur de x  où f '(x) = 0

pour x = 1.5 ⇒ f '(1.5) = 0   tangente horizontale au sommet de la parabole

Explications étape par étape :