bonjour pourriez vous m’aider pour cet exercice sur les fonctions svp

Réponse :

Partie A

f(x) = 2 x² + 4 x - 30

1) vérifier que - 5 est une racine de f

f(-5) = 2*(-5)² + 4*(-5) - 30 = 50 - 20 - 30 = 50-50 = 0

donc - 5 est une racine de f

2) sachant que la droite d'équation  x = - 1 est un axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction f, déterminer la seconde racine de f

comme  x = - 1 est un axe de symétrie  donc  x1 = x2  par rapport à cet axe de symétrie  donc x2 = 4  en revenant à l'axe initial  x2 = 4 - 1 = 3

donc la seconde racine de f  est x2 = 3

3) en déduire la forme factorisée de f

        f(x) = 2(x + 5)(x - 3)

4) donner la dérivée f '(x) de la fonction f

         f(x) = 2 x² + 4 x - 30

    la fonction f est une fonction polynôme dérivable sur R et sa dérivée est  f '(x) = 4 x + 4  

5) calculer f(2) et f '(2)

   f(2) = 2*2² + 4*2 - 30 = 16 - 30 = - 14

   f '(2) = 4*2 + 4 = 12

6) montrer que l'équation de la tangente au point d'abscisse de 2 est :

     y = 12 x - 38

  l'équation de la tangente au point d'abscisse 2

  est  y = f(2) + f '(2)(x - 2)

         y = - 14 + 12(x - 2)

            = - 14 + 12 x - 24

          y = 12 x - 38

Partie B

soit  f(x) = - 2 x³ + 26 x - 24

1) montrer que pour tout réel x,  f(x) = - 2(x - 3)(x + 4)(x - 1)

   f(x) = - 2 x³ + 26 x - 24

pour x = 1  ⇒ f(1) = - 2 + 26 - 24 = 26 - 26 = 0  ⇒ x = 1 est une racine de f

on écrit  f(x) = - 2(x³ - 13 x + 12)

                   = - 2(x - 1)(a x² + b x + c)

                   = - 2(a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c)

                   = - 2(a x³ + (b - a) x² + (c - b) x - c)

a = 1

b - a = 0 ⇒ b = a = 1

c - b = - 13

- c = 12  ⇒ c = - 12

donc  f(x) = - 2(x - 1)(x² + x - 12)

cherchons les racines de x² + x - 12

Δ = 1 + 48 = 49 > 0 ⇒ deux racines distinctes

x1 = - 1 + 7)/2 = 3

x2 = - 1 - 7)/2 = - 4

donc  factorisons   x² + x - 12 = (x - 3)(x + 4)

f(x) = - 2(x - 1)(x - 3)(x + 4)

Explications étape par étape :