Bonjour pouvez vous m’aidez. Dans un repère orthonormé, on considère les points A(−1 ; − 3), B(2; 3) et C(− 1 ; 7). 1) Déterminer une équation cartésienne de la

Réponse :

1) déterminer une équation cartésienne de la droite (AB)

  soit M(x ; y) tel que les vecteurs AM et AB soient colinéaires c'est à dire

xy' - x'y = 0

vec(AM) = (x+1 ; y+3)

vec(AB) = (2+1 ; 3+3) = (3 ; 6)

xy' - x'y = 0 ⇔ (x + 1)*6 - 3(y+3) = 0  ⇔ 6 x + 6 - 3 y - 9 = 0

⇔ 6 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 3(2 x - y - 1) = 0  ⇔ 2 x - y - 1 = 0

2) déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point C et de vecteur normal (3 ; 1)  

n(3 ; 1) est un vecteur normal à la droite d

donc  d  a pour équation  3 x + y + c = 0

C(- 1 ; 7) ∈ d  ⇔  3*(-1) + 7 + c = 0  ⇔ - 3 + 7 + c = 0  ⇔ c = - 4

donc  on a ;  3 x + y - 4 = 0

3) démontrer que les droites d et AB ne sont pas parallèles

   la droite AB d'équation : 2 x - y - 1 = 0  a pour vecteur directeur u(1 ; 2)

   la droite d d'équation : 3 x + y - 4 = 0 a pour vecteur directeur v(- 1 ; 3)

     calculons le det(u ; v) = 1*3 - (- 1)*2 = 3 + 2 = 5 ≠ 0

donc les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires par conséquent; les droites (d) et (AB) ne sont pas //

4) les droites (d) et (AB) sont-elles ⊥ ? justifier

  le produit scalaire  des vecteurs  u.v = xx' + yy' = 1*(-1) + 2*3 = - 1 + 6 = 5 ≠ 0  ⇒ (d) et (AB) ne sont pas ⊥

5) calculer la longueur EC

vec(EC) = (- 1 - 1 ; 7 - 1) = (- 2 ; 6) ⇒ EC² = (-2)² + 6² = 4 + 36 = 40

⇒ EC = √40 = 2√10      

Explications étape par étape :