Bonjour, pouvez vous m’aidez. On considère la fonction f définie sur l’intervalle [− 4 ;3 ] par f (x) = x3 + 3x2 − 9x – 20 On admet que la fonction f est déri

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonsoir

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [− 4 ;3 ] par f (x) = x3 + 3x2 − 9x – 20

On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [− 4 ;3 ] et on note f ’ sa fonction dérivée .

La courbe représentative de la fonction f , notée c , est tracée dans le repère ci-dessous.

La droite T tracée dans le repère est la tangente à la courbe c au point d’abscisse 0 .

1) Déterminer graphiquement le maximum et le minimum de la fonction f .

Graphiquement il y a un maximum pour x = - 3 et son image par la courbe est 7 et il y a un second maximum pour x = 3 et l'image par la courbe est 7

Il y a un minimum pour x = 1 et son image par la courbe est - 25

2) Déterminer l’expression de f ‘(x) sur [− 4 ;3 ] .

f est dérivable sur [− 4 ;3 ]  donc

f' (x) = 3x² + 6 x - 9

3) Etudier le signe de 3x2 + 6x – 9 en fonction de x sur [− 4 ;3 ]

f'(x) s'annule si f'(x) = 0

                     si 3x² + 6 x- 9 = 0

                     si 3( x² + 2 x - 3) = 0

                    si x² + 2 x - 3 = 0

On calcule le discriminant Δ = b² - 4 ac avec a = 1 b = 2 c = - 3

application numérique

Δ = b² - 4 ac = 2² - 4 (1)(-3)

Δ= 4 + 12 = 16>0 avec √Δ = √16 = 4

donc f'(x) = 0 admet deux solutions

x₁= (- b + √Δ)/ 2 a ou   x ₂ = (- b - √Δ)/ 2 a

x₁ = ( - 2 + 4)/2(1) ou x₂= (- 2 - 4)/2(1)

x₁ = 2/2 ou x₂= (- 6)/2

x₁= 1 ou  x₂= -3

x₁  ∈ [− 4 ;3 ] ou  x₂ ∈  [− 4 ;3 ]

f'(x) peut s'écrire de la forme a(x -  x₁) (x -  x₂)

f'(x) = 3 (x - 1) (x + 3)

x       - 4                      - 3                     1                     3

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x - 1                 --           !        --          ⊕               +

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x + 3             --            ⊕      +            !                 +

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f'                +               ⊕        --         ⊕               +

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f           croissante      décroissante           croissante

4) En déduire le tableau de variations de f sur [− 4 ;3 ] et retrouver les résultats du 1)

sur [− 4 ; - 3 ] la fonction est croissante

sur [− 3; 1 ]  la fonction est décroissante

sur [ 1;  3 ] la fonction est croissante

on a bien un maximum en x = - 3 et un maximum en x = 3

f(-3) = (-3)³ + 3(-3)² - 9(-3) - 20 = - 27 + 27 + 27 - 20 = 7

f(3) = (3)³ + 3(3)² - 9(3) - 20 = 27 + 27 - 27 - 20 = 7

et on a un minimum en x = 1

f(1) = 1³ + 3 (1)² - 9 (1) - 20 = 1 + 3 - 9 - 20 = - 25

5) Déterminer l’équation réduite de la droite T tangente à la courbe c au point d’abscisse 0 .

l'équation de la tangente en au point d'abscisse 0 est y = f'(0) (x - 0) + f(0)

en x = 0 on a f(0) = (0)³ + 3(0)² - 9 (0) - 20 = - 20

f'(0) = 3 (0)² = 6(0) - 9 = - 9

donc l'équation réduite de la tangente T  à la courbe c au point d’abscisse 0 est y = - 9 x - 20