Svp aidez moi pour cette petit exercice de math. Merci d’avance .

Réponse :

soit f définie sur R  par f(x) = 4 x³ + 9 x² - 16 x - 36

1) montrer que - 2 est racine de f; en déduire la factorisation de f(x)

           f(x) = 4 x³ + 9 x² - 16 x - 36

           f(- 2) = 4*(-2)³ + 9*(-2)² - 16*(-2) - 36

                   = - 32 + 36 + 32 - 36

                   = 0

    on a bien f(-2) = 0,  donc  - 2 est racine de f  

on écrit  f(x) = (x + 2)(a x² + b x + c) ;  on cherche donc les nombres réels a; b et c  en développant  f(x)

              f(x) = (x + 2)(a x² + b x + c)

                    = a x³ + b x² + c x + 2a x² + 2b x + 2 c

                    = a x³ + (2a + b) x² + (2b + c) x + 2c

a = 4

2a + b = 9  ⇔ 2*4 + b = 9  ⇔ b = 1

2b + c = - 16

2c = - 36  ⇔  c = - 36/2 = - 18        

donc   f(x) = (x + 2)(4 x² + x - 18)

4 x² + x - 18

Δ = 1 + 288 = 289 > 0  ⇒ 2 racines distinctes  et  √289 = 17

x1 = - 1 + 17)/8 = 2

x2 = - 1 - 17)/8 = - 9/4

    a(x - x1)(x - x2)  = 4(x - 2)(x + 9/4) = 4(x - 2)(4 x + 9)/4 = (x - 2)(4 x + 9)

donc  la factorisation de f  est :  f(x) = (x + 2)(x - 2)(4 x + 9)

2) résoudre l'équation f(x) = 0

    f(x) = 0  ⇔ (x + 2)(x - 2)(4 x + 9) = 0    produits de facteurs nuls

  ⇔  x + 2 = 0   ⇔ x = - 2   ou  x - 2 = 0  ⇔ x = 2  ou  4 x + 9 = 0  ⇔ x = -9/4

⇔  S = {-9/4 ; - 2 ; 2}

3) résoudre l'inéquation  f(x) ≥ 0

           x         - ∞              - 9/4               - 2                2               + ∞                  

        x + 2                  -                     -        0         +               +        

        x - 2                   -                      -                   -      0        +      

       4 x + 9                -          0          +                  +                +

           f(x)                  -           0          +         0       -      0        +  

l'ensemble des solutions est ;  S = [-9/4 ; - 2]U[2 ; + ∞[    

Explications étape par étape :