Bonjour quelqu’un peut m’aidez pour cet exercices s’il vous plaît merci d’avance

Réponse :

f(x) = (3 - x)eˣ + 1

1) montrer que  pour tout nombre réel x  appartenant à R

     f '(x) = (2 - x)eˣ

f '(x) = (uv)' = u'v + v'u

u = 3 - x  ⇒ u' = - 1

v = eˣ   ⇒   v' = eˣ

f '(x) = - eˣ + (3 - x)eˣ  = - eˣ + 3eˣ - xeˣ = 2eˣ - xeˣ = (2 - x)eˣ

2) étudier les variations de f  sur R

   f '(x) = (2 - x)eˣ     or   pour tout x de R ;  eˣ > 0

  le signe de f '(x) dépend du signe de  2 - x

           x    - ∞                            2                          + ∞

         f'(x)                    +             0              -

         f(x)  1 →→→→→→→→→→→→→→e²+1 →→→→→→→→→→ - ∞

                      croissante                    décroissante

   3) a) montrer que T a pour équation

               y = - e³ x + 3e³ + 1

La tangente T à Cf au point d'abscisse 3  a pour équation

      y = f(3) + f '(3)(x - 3)

f(3) =  1

f '(3) = - e³

   donc   y = 1 - e³(x - 3)

                  = 1 - e³ x + 3e³

  donc   y = - e³ x + 3e³ + 1

   b) déterminer les coordonnées du point d'intersection de T et de l'axe des abscisses

                 y = 0  ⇔ - e³ x + 3e³ + 1 =, 0

⇔  e³ x = 3e³ + 1   ⇔ x = (3e³ + 1)/e³ = 3 + 1/e³

les coordonnées sont :  (3 + 1/e³ ; 0)  

Explications étape par étape :