Bonjour, est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour cet exercice SVP.​

Réponse :

Explications étape par étape :

Réponse :

pour tout x de [1 ; + ∞[   on pose  A = √(1 + 1/x)

1) Montrer que  A - 1 = 1/x(A+1)

   A - 1 =  √(1 + 1/x)  - 1    

           =  (√(1 + 1/x) - 1)(√(1 + 1/x) + 1)/(√(1 + 1/x) + 1)

           = ((1 + 1/x) - 1)/(√(1 + 1/x) + 1)

           = 1/x/(√(1 + 1/x) + 1) = 1/x(√(1 + 1/x) + 1 ) puisque  A = √(1 + 1/x)  

donc  A - 1  =  1/x(A + 1)    

2) Montrer que   2 ≤ 1 + A ≤ 3

x ∈ [1 ; + ∞[   ⇔  x ≥ 1 ⇔ 1/x ≤ 1  ⇔  1 + 1/x ≤ 2  ⇔  √(1 + 1/x) ≤ √2

⇔ 1 + √(1 + 1/x) ≤ √2 + 1  ≤ 3   ⇔   1 + A ≤ 3

x  > 0  ⇔ 1/x  > 0  ⇔ 1 + 1/x ≥ 1  ⇔ √(1 + 1/x) ≥ 1  ⇔ 1 + √(1 + 1/x) ≥ 2

⇔ 1 + A  ≥ 2   donc   2 ≤ 1 + A ≤ 3

en déduire que  1 + 1/3 x ≤ A ≤ 1 + 1/2 x

sachant  que  2 ≤ 1 + A ≤ 3  ⇔ 2 x ≤ x(1 + A) ≤ 3 x     or   x > 0

⇔  1/2 x ≥ 1/x(1+A) ≥ 1/3 x  ⇔ 1/3 x ≤ 1/x(1 + A) ≤ 1/2 x   or  A - 1 = 1/x(1+A)

donc   1/3 x ≤ A - 1 ≤ 1/2 x  ⇔  1 + 1/3 x ≤  A - 1 + 1 ≤ 1 + 1/2 x

⇔    1 + 1/3 x ≤  A  ≤ 1 + 1/2 x

Explications étape par étape :