Bonjour, quelqu’un sait comment on trouve la monotonie de cette suite svp ? :)

Réponse :

Explications étape par étape :

Un est >0

Un+1 / Un = (1 + 1/n)^n+1 / (1 + 1/n) ^n =  (1 + 1/n)^n X   (1 + 1/n)/ (1 + 1/n) ^n

                 =  (1 + 1/n) > 1

Donc Un+1 > Un

et donc la suite est croissante.

Réponse :

trouve la monotonie de cette suite

  ∀n∈N*∈ ;  Un = (1 + 1/n)ⁿ

Un+1 = (1 + 1/(n+1))ⁿ⁺¹

Un+1/Un = (1 + 1/(n+1))ⁿ⁺¹/(1 + 1/n)ⁿ

             = [(n + 2)/(n + 1)]ⁿ⁺¹/[(n + 1)/n)]ⁿ

             =  [(n + 2)/(n + 1)]ⁿ x (n+2)/(n+1)[(n + 1)/n)]ⁿ

             = [(n+2)/(n+1)/(n + 1)/n]ⁿ x (n+2)/(n+1)

             = [n(n+2)/(n+1)²]ⁿ x (n+2)/(n+1)

comme  n > 0  on a une suite de termes positifs donc Un+1/Un > 0

pour n = 1   ⇒ [1(1+2)/(1+1)²] x (1+2)/(1+1) = 3/4) x 3/2 = 9/8

pour n = 2 ⇒ [2(2+2)/(2+1)²]² x (2+2)/(2+1) = (8/9)² x 4/3 = 64/81 x 4/3 = 256/243 > 1

Donc la suite (Un) est croissante sur  N*  

Explications étape par étape :