Bonsoir, Petite inéquation qui me fait du tort, j'ai besoin d'un petit coup de main svp :) f(x) = x^4 -x^3 -5x^2 -4x +4 < ou = 0 (Je n'ai trouvé aucune racine é

Explications étape par étape:

Bonsoir,

Parfois tu pourras astucieusement factoriser un polynôme via quelques manipulations. Or, cela est chronophage, dans ce genre d'exercice, tu es obligé d'étudier la dérivée, voire la dérivée seconde.

Ici, f étant un polynôme, elle est drivable pour tout réel x, et pour tout x dans R :

f'(x) = 4x^3 - 3x^2 - 10x - 4.

Aucun moyen de conclure ici non plus, il faudra donc étudier la concavité / convexité par la dérivée seconde :

f''(x) = 12x^2 - 6x - 10 pour tout réel x.

On calcule le discriminant D = 36 + 10*12*4 = 36 + 480 = 516.

Comme il est strictement positif, il y aura 2 solutions explicites x1 et x2 :

x1 = [6 - Rac(516)] / 24 = [6 - 2*Rac(129)] / 24 = [3 - Rac(129)] / 12 et x2 = [3 + Rac(129)] / 12.

Le coefficient devant x^2 étant positif, f'' est positif à l'extérieur des racines, et négatif à l'intérieur. Ainsi :

Si x € ]-infini ; x1] U [x2 ; +infini[ alors f''(x) >= 0.

De même, si x € ]x1 ; x2[ alors f''(x) < 0.

On déduit donc que la courbe de f' est croissante sur l'intervalle ]-infini ; x1[, puis décroissante sur ]x1 ; x2[ et croissante sur ]x2 ; +infini[.

Ensuite, il nous faut bien analyser. Rac(129) ~ 11 donc x1 < 0. De même, x2 > 0.

On calcule ensuite les images de x1 et x2 par la fonction f', on peut établir par approximation que f'(x1) > 0 (largement) et f'(x2) < 0.

Or, lim f(x) = - infini quand x tend vers - infini, et réciproquement.

Il faut vraiment dessiner pour comprendre.

x1 < 0 et f'(x1) > 0 avec f' croissante signifie que, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur z appartenant à ]-infini ; x1[ , tel que f'(z) = 0. Et, par conséquent, f'(x) <= 0 sur ]-infini ; z], f'(x) > 0 sur ]z ; x1[.

De même, lorsque la courbe atteint f'(x1) > 0, elle descend jusqu'à f'(x2) < 0, on réapplique le théorème. Il existe donc une unique valeur t, dans [x1 ; x2] telle que f'(t) = 0.

Ainsi, f'(x) >= 0 sur [x1 ; t] et f'(x) < 0 sur ]t ; x2[.

Identiquement, comme f'(x2) < 0 et lim f(x) = + infini quand x tend vers infini, il existe r, tel que f'(r) = 0 etc.

Conclusion : f'(x) >= 0 si x € [z ; x1] U [x1 ; t] U [r ; +infini[ = [z ; t] U [r ; +infini[

Et f'(x) < 0 si x € ]-infini ; z[ U ]t ; x2[.

On peut désormais (ENFIN) conclure que f est croissante sur l'intervalle [z ; t] U [r ; +infini] et décroissante sur [-infini ; z] U [t ; x2[.

Je te laisse terminer, à toi de calculer f(z), f(t), f(x2) etc.

Bonne soirée

Réponse :

f(x) ≤ 0 donne Solution = [ x2 ; x1 ] ≈ [ 0,571596 ; 2,978326 ]

Explications étape par étape :

■ x^4 - x³ - 5x² - 4x + 4 = 0

■ la Casio 25 indique deux racines :

   x1 ≈ 2,978326   = a

   x2 ≈ 0,571596   = b

■ développons :

   (x - a) (x - b)  [ x² + cx + (4/ab) ]

   = (x² - (a+b)x + ab) [ x² + cx + (4/ab) ]

   = x^4 + cx³ + 4x²/ab - (a+b)x³ - c(a+b)x² - 4(a+b)x/ab + abx² + abcx + 4

■ par identification :

  c - a - b = -1

  4/ab - c(a+b) + ab = -5

  -4(a+b)/ab + abc = -4

  remplaçons c par a+b-1 :

  4/ab - (a+b)² + a+b + ab = -5

  -4(a+b)/ab + ab(a+b) - ab = -4

  remplaçons ab par 1,7 ; et a+b par 3,55 :

  4/1,7 - 12,6 + 3,55 + 1,7 ≈ -5 vérifié

  -4*2,09 + 6,035 - 1,7 ≈ -4 vérifié

■ conclusion :

  on peut factoriser l' expression du texte sous cette forme :

  (x-2,978326) (x-0,571596) (x²+2,55x+2,353)

■ tableau de signes :

          x -->                  0,57               2,98

(x-2,98) -->        -                      -            0            +

(x-0,57) -->        -           0        +                          +

(x²+2,55x+2,35) --> toujours positif  

       f(x) -->        +          0        -             0           +

■ conclusion finale :

   f(x) ≤ 0 donne Solution = [ x2 ; x1 ] ≈ [ 0,571596 ; 2,978326 ]