Bonjour , pouvez vous m'aider pour cet exercice s'il vous plait ? merci

Réponse :

Explications étape par étape :

On sait que le triangle ABC est isocèle en A avec AB = 5 cm et BC = 5 cm

Donc AB  = AC = 5 cm

par construction on sait aussi que le triangle BCE  est isocèle en B car le point E  appartient au cercle  et le point C appartient aussi au cercle donc on a

BE = BC = 3 cm

dans le triangle ABC isocèle en A, on sait que  les angles suivants sont égaux

angle ABC = angle BCA

dans le triangle BCE isocèle en B on sait que les angles suivants sont égaux

angle BEC = angle BCE

On constate donc l'on a bien deux angles identiques entre le triangle ABC  et le triangle BCE :

angle BEC = angle BCE = angle ABC = angle BCA

donc les deux triangles ABC et BCE sont semblables

Comme les triangles sont semblables on a

ABC et BCE

AB / BC = AC/ BE = BC/CE

avec AB  = AC = 5 cm et BE = BC = 3 cm

Application numérique

5/3 = 5/3 = 3 / CE

on a donc CE  = 3×3/5= 9/5= 1,8 cm

comme les triangles ABC et BCE sont semblables on a :

l'aire du triangle BCE  = A

l'aire du triangle ABC = B

B  = (5/3)² × A et donc on en a B = 25/ 9 × A

donc A = 9/25 × B

ce qui signifie que l'aire du triangle BCE  est 9/25  fois l'aire du triangle ABC

Réponse :

a) montrer que les triangles ABC et BCE sont semblables

triangle ABC est isocèle en A ⇒ ^ABC = ^ACB

triangle BCE est isocèle en B car BC = BE (rayon du cercle C)

⇒ ^BCE = ^BEC

or ^ACB = ^BCE

^BAC = 180° - (^ABC + ^ACB) = 180° - 2 x ^ABC

et ^EBC = 180° - (^BCE + ^BEC)   or ^BCE = ^ABC = ^ACB

             = 180° - 2 x BCE

donc ^BAC = ^EBC

Donc  les triangles ABC et BCE ont les mêmes angles  donc les triangles ABC et BCE sont semblables

b) déduis-en la distance CE

        BC/EC = AB/BE    or BC = BE (rayon du cercle C)

         3/CE = 5/3   ⇔ CE = 9/5 = 1.8 cm

c) exprimer l'aire du triangle BCE en fonction de l'aire du triangle ABC

 sachant que  le point  E ∈ à l'intersection de C et (AC) ⇒ E est tangent à (C)  ⇒ (BE) ⊥ (AE)  

         A(abc) = 1/2(BE x AC)  ⇔ BE x AC = 2 x A(abc)  ⇔ BE = 2 x A(abc)/AC

          A(bce) = 1/2(BE x CE)   ⇔ A(bce) = 1/2(2 x A(abc)/AC) x CE)

⇔ A(bce) = (CE/AC) x A(abc) = 9/5/5) x A(abc) = 9/25 x A(abc)

               = 0.36 x A(abc)

Explications étape par étape :