Bonjour j'ai beaucoup de mal avec cet exercice que j'ai à faire, j'ai vraiment besoin d'aide, je remercie d'avance toute les personnes qui me viendront en aide

Salut;

1) Tu l'as faites ;)
2)calculons U(n+1)-Un:
U(n+1)-Un=4-(3/Un)-Un
                =(4Un-3)/Un - Un
                =(-Un²+4Un-3)/Un
On développe (Un-1)(3-Un)/Un:
(Un-1)(3-Un)/Un= (-Un²+4Un-3 ) / Un
On remarque alors que U(n+1)-Un= (-Un²+4Un-3)/Un= (Un-1)(3-Un))/Un.
3) D'après la question 1; on sait que  1 < Un<3.
Donc, 1-1 < Un-1< 3-1 <=> 0< Un-1 <2   donc Un-1 ≥ 0.
Donc, -1 > -Un > -3
         -1+3 >-Un +3 > -3+3
         2 > -Un+3 >0                                  donc -Un+3 ≥0
Donc, (Un+1)(3-Un)≥0 de plus Un > 0
Donc (Un+1)(3-Un)/ Un ≥0.
4. On sait que (Un) est croissante et majorée par 3 (elle est même bornée), donc (Un) converge vers un réel fini l.
Déterminons la limite de (Un):
[tex] \lim_{n \to \infty} - \frac{1}{u_n} =0 [/tex]
[tex] \lim_{n \to \infty} \frac{-3}{u_n} =0[/tex]
[tex] \lim_{n \to \infty} 4- \frac{3}{u_n} =4[/tex]
[tex] \lim_{n \to \infty} u_n =4[/tex]

Cordialement.