Salut , Merci de m aider un peu ​

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

1a) 1 et 4 sont racines du polynome x²-5x+4 ce sont donc des valeurs interdites. Donc Df=IR\{1;4}

1b) f(x)=a/(x-1)+b(x-4)=[a(x-4)+b(x-1)]/[(x-1)(x-4)]

f(x)=(ax-4a+bx-b)/(((x-1)(x-4))=-3x/((x1)(x-4))

Par analogie on a :

-4a-b=0 et a+b=-3

On en déduit que b=-4a et donc que a-4a=-3 soit a=1 et b=-4

Donc f(x)=1/(x-1)-4/(x-4)

a) f'(x)=-1/(x-1)²+4/(x-4)²

f'(x)=(-(x-4)²+4(x-1)²)/((x-1)²(x-4)²)

f'(x)=(-x²+8x-16+4x²-8x+4)/((x-1)²(x-4)²)

f'(x)=(3x²-12)/((x-1)²(x-4)²)

f'(x)=3(x²-4)/((x-1)²(x-4)²)

f'(x)=3(x+2)(x-2)/((x-1)²(x-4)²)

(x-1)²(x-4)² est toujours positif donc le signe de f'(x) dépend de (x+2)(x-2).

On fait le tableau de signe :

x         -∞             -2             1               2             4            +∞

x+2              -       0      +     II        +             +     II      +        

x-2              -                -      II        -       0     +    II       +

f'(x)             +        0     -       II       -        0    +    II       +

2b) Tableau de variation :

x        -∞                -2                   1                 2                   4                +∞

f(x)            croit     1/3   décroit   II  décroit   3   croit         II   croit

3) Quand x tend vers 1+, 1/(x-1) tend vers +∞ et -4/(x-4) tend vers 4/3

Donc [tex]\lim_{x \to 1+} f(x) =[/tex] +∞

Quand x tend vers 4-, -4/(x-4) tend vers +∞ et 1/(x-1) tend vers 1/5

Donc [tex]\lim_{x \to 4} f(x)=[/tex] +∞

f(x) admet une asymptote verticale en en x=1 et x=4

4) Voir le graphique ci-joint.