Bonjour je galere sur mon exercice de math quelqu'un pourrai maider svp ? On s’intéresse à l’évolution d’une population de tigres dans une réserve en naturelle.
Question
On s’intéresse à l’évolution d’une population de tigres dans une réserve en naturelle.
En 2019, il y avait 100 tigres. Une étude à montré que chaque année, 10 % de la population de tigres meurt. En conséquence on introduit, chaque année, 5 nouveaux tigres à la
réserve. On note un le nombre de tigres en 2019 + n.
1) Déterminer le nombre de tigres dans la réserve en 2020.
2) Donner la valeur de u0 et justifier que pour tout n ∈ N, un+1 = 0, 9un + 5.
3) On pose vn = un − 50
a) Montrer que (vn) est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Déterminer l’expression de vn puis de un en fonction de n.
c) En déduire la limite de la suite (un).
d) Interpréter dans le contexte les variations et la limites de la suite (un)
2 Réponse
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1. Réponse olivierronat
Réponse :
Explications étape par étape :
2. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ "10 % des tigres meurent"
--> coefficient = 1 - 0,1o = 0,9o
--> "0,9" dans l' expression de Un+1
■ "5 nouveaux tigres"
--> "+5" dans l' expression de Un+1
■ tableau-résumé :
les nb de tigres sont arrondis à l' entier ! ☺
année --> 2o19 2o20 2o21 2o22 2o23
Un --> 100 95 91 87 83 tigres
Vn --> 50 45 41 37 33
■ 3a) :
Vn = Un - 50 = 0,9Un-1 + 5 - 50
= 0,9Un-1 - 45
= 0,9 (Un-1 - 50)
= 0,9 Vn-1 .
La suite (Vn) est donc bien une suite géométrique
de raison 0,9 et de terme initial Vo = 50 .
■ 3b) :
Vn = Vo x 0,9^n = 50 x 0,9^n
donc Un = 50 x 0,9^n + 50 = 50 (0,9^n + 1) .
vérif : Uo = 100 ; U1 = 95 ; U2 = 40,5 ≈ 41 ; ...
■ 3c) limites :
LimVn = 0 puisque la raison positive est inférieure à 1
donc LimUn = 50 ( tigres ) .
autre méthode :
Un+1 = 0,9Un + 5 donne
Lim = 0,9 Lim + 5 donne 0,1 Lim = 5
Lim = 50 .
■ 3d) interprétation :
dès que le nb de tigres sera de 50 , on aura 10%
de tigres qui meurent ( soit 5 tigres ) --> il en resterait
donc 45 , mais on ajoute 5 nouveaux tigres
--> il y aura donc encore 45 + 5 = 50 tigres !
■ 3e) en quelle année aura-t-on 50 tigres ?
on doit résoudre 50 x 0,9^n + 50 ≈ 50,5
50 x 0,9^n ≈ 0,5
0,9^n ≈ 0,01
n ≈ Log0,01 / Log0,9
n ≈ 43,7
on retient n = 44 --> année = 2o19 + 44 = 2o63
vérif : U43 = 50 x 0,9^43 + 50 ≈ 50,54 --> 51 tigres !
U44 = 50 x 0,9^44 + 50 ≈ 50,48 --> 50 tigres !
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