On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturel n par : Uo = 0                 Vo = 2 et Un+1 = 2Un+Vn                       Vn+1 = Un+2V

Il y a deux manières de faire :

A)avec une matrice

on a si Xn désigne le vecteur de R² (Un,Vn) : Xn=A.X(n-1) où A désigne la matrice

(2/3 1/3)

(1/3 2/3)

Celle-ci s'écrit comme P.A'P-1 , A' diagonale

(1   0)

(0 1/3)

où P est la matrice

(1   1)

(1 -1)

et P-1 son inverse 

(1/2  1/2)

(1/2 -1/2)

ainsi Xn=P.A'^n.P-1.X0 ce qui méne à Un=1-1/3^n et V,=1+1/3^n

b Par récurrence :

U0 est bien 1-1/3^0 et V0 est bien 1+1/3^0

et si Un=1-1/2^n et Vn=1+1/3^n les relations de calcul de U(n+1) et V(n+1) permettentde prouver l'hérédité.