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Question

Pouvez vous m’aidez merci d’avance.

Un propriétaire souhaite construire un enclos rectangulaire sur son terrain.
Celui-ci est représenté ci-dessous dans un repère orthonormé, d’unité le mètre. Il est délimité par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, la droite d’équation x = 5 et la courbe cf, représentative de la fonction f définie sur [0 ;5] par f (x) = 4 e – 0,5x.
L’enclos est représenté par le rectangle OABC où O est l’origine du repère et B un point de cf, ,
A et C étant respectivement sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
On note x l’abscisse du point A et D le point de coordonnées (5 ; 0) .
Le but de l’exercice est de déterminer la position du point A sur le segment [OD] permettant d’obtenir un enclos de superficie maximale.
1) Justifier que la superficie de l’enclos, en m2, est donnée en fonction de x par g(x) = 4xe – 0,5x. pour x dans l’intervalle [0 ;5] .
2) La fonction g est dérivable sur [0 ;5 ] . Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ;5], on a g’(x) = (4 – 2x) e – 0,5x .
3) En déduire le tableau de variations de la fonction g sur [0 ;5]
4) Où doit-on placer le point A sur [OD] pour obtenir une superficie d’enclos maximale ?
Donner la superficie maximale possible en arrondissant le résultat au dm2.
Pouvez vous m’aidez merci d’avance. Un propriétaire souhaite construire un enclos rectangulaire sur son terrain. Celui-ci est représenté ci-dessous dans un repè

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1 Réponse

  • Réponse :

    1) justifier que la superficie de l'enclos en m², est donnée en fonction de x

       par g(x) = 4 xe⁻⁰⁵ˣ   pour x ∈ [0 ; 5]

       superficie de l'enclos  est :  s = OA * AB

       A(x ; 0)

       B(x ; 4e⁻⁰⁵ˣ)

    vec(OA) = (x ; 0)  ⇒ OA² = x²  ⇒ OA = √x² = x    car  x ≥ 0

    vec(AB) = (x - x ; 4e⁻⁰⁵ˣ) = (0 ; 4e⁻⁰⁵ˣ) ⇒ AB² = (4e⁻⁰⁵ˣ)² ⇒ AB = √(4e⁻⁰⁵ˣ)²

    ⇒ AB = 4e⁻⁰⁵ˣ    car e⁻⁰⁵ˣ > 0

    donc  s = OA * AB = x * 4e⁻⁰⁵ˣ

    donc la fonction  g(x) = 4 xe⁻⁰⁵ˣ   pour tout x ∈ [0 , 5]

    2) la fonction g est dérivable sur [0 ; 5]  Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 5] ,  on a g '(x) = (4 - 2 x)e⁻⁰⁵ˣ

    la fonction g est le produit de deux fonctions dérivables sur [0 ; 5]

    et sa dérivée g '  est  g '(x) = (u * v)' = u'v + v'u

    u(x) = 4 x  ⇒ u'(x) = 4

    v(x) = e⁻⁰⁵ˣ  ⇒ v'(x) = - 0.5e⁻⁰⁵ˣ

    g '(x) = 4 * e⁻⁰⁵ˣ + 4 x * (- 0.5e⁻⁰⁵ˣ)

           = 4e⁻⁰⁵ˣ - 2 xe⁻⁰⁵ˣ

           = (4 - 2 x)e⁻⁰⁵ˣ

    3) en déduire le tableau de variations de la fonction g sur [0 ; 5]

        g '(x) = (4 - 2 x)e⁻⁰⁵ˣ   or  e⁻⁰⁵ˣ > 0  donc le signe de g '(x) dépend du signe de 4 - 2 x

                   x    0                             2                        5

               g'(x)                    +             0            -

    variation       0→→→→→→→→→→→→→ 8e⁻¹→→→→→→→→ 20e^-2.5    

    de g                    Croissante                   décroissante

    4) où doit-on placer le point A sur (OD) pour obtenir une superficie d'enclos maximale ?  

    on doit placer le point A d'abscisse  x = 2  sur (OD) pour avoir une superficie maximale

    Donner la superficie maximale possible en arrondissant au dm²

      la superficie maximale est  smax = 8e⁻¹ m² ≈ 2.9 m²

    Explications étape par étape :

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