Exercice 9 Outil vectoriel Soit ABC un triangle. On considère le point D tel que ABDC soit un parallélogramme et E tel que AE = 2AB + AC. 1) Faire une figure. 2

Réponse :

1) faire une figure

                                      A  

                                      /\

                                    /     \

                              B  /..........\ C

                                /  \       /

                              /        \/D  

                               \      /  

                                 \/ E

2) démontrer que C, D et E  sont alignés

        vec(CE) = vec(CA) + vec(AE)    relation de Chasles

                     =  vec(CA) + 2vec(AB) + vec(AC)   or vec(AC) + vec(CA) = 0

donc vec(CE) = 2vec(AB)    or  vec(AB) = vec(CD)  (ABDC parallélogramme)

                      = 2vec(CD)

les vecteurs CE et CD sont colinéaires  donc les points C, D et E sont alignés

3) démontrer que (BE) // (AD)

vec(BE) = vec(BA) + vec(AE)    relation de Chasles

vec(AD) = vec(AE) + vec(ED)         //        //        //

or  D milieu de (CE)   donc  vec(CE) = 2vec(CD)  ⇔ vec(CD) = vec(DE)

et vec(CD) = vec(AB)  (ABDC parallélogramme)

vec(AD) = vec(AE) + vec(BA)

donc vec(BE) = vec(AD)

les vecteurs BE et AD sont colinéaires  donc  les droites (BE) et (AD) sont parallèles

Explications étape par étape :