1. Pour quel(s) valeur(s) de x la contenance de la boîte est-elle maximale? 2. Est-il donc possible de construire une boîte dont la contenance est supérieur ou

Réponse :

Explications étape par étape :

■ il est évident que x est positif

                et qu' il faut x < 9 cm !

■ la Surface du fond de la boîte est donc :

   (24-2x) * (18-2x) = 432 - 84x + 4x² .

■ le Volume de la boîte est donc :

   (432 - 84x + 4x²) * x

   = 432x - 84x² + 4x³

   = 4x ( 108 - 21x + x²)

   = 4x ( x - 12 ) ( x - 9 )

■ dérivons ce Volume :

   V ' (x) = 432 - 168x + 12x²

             = 12 ( 36 - 14x + x²)

   la Casio25 donne comme racines 3,4 et 10,6 ( environ )

   cette dérivée est nulle pour x ≈ 3,4 cm

   ( la seconde valeur x ≈ 10,6 cm doit être éliminée

     car elle est supérieure à 9 cm ! )

■ tableau-résumé :

      x -->   0       2       3,4        6         9 cm

V ' (x) --> 432   144       0       -144    -108

  V(x) -->   0    560    655      432      0 cm³

■ le Volume maxi est atteint pour x voisin de 3,4 cm

   --> ce Vmaxi est alors voisin de 655 cm³ .

■ résolvons l' inéquation :

   4x³ - 84x² + 432x ≥ 650

   4x³ - 84x² + 432x - 650 ≥ 0

   2x³ - 42x² + 216x - 325 ≥ 0

   la Casio25 donne ces racines : 3,06 ; 3,74 ; et 14,2 ( environ )

    2 ( x-3,06 ) ( x-3,74 ) ( x-14,2 ) ≥ 0

     tableau des signes :

        x --> 0            3,06           3,74           9

x-3,06 -->         -         0      +                +

x-3,74 -->          -                 -        0       +

x-14,2 -->          -                  -                 -

produit ->         -          0     +       0       -

      conclusion :

      le Volume peut être égal ou dépasser 650 cm³

                 en choisissant x ∈ [ 3,06 cm ; 3,74 cm ] .

■ vérif avc x = 3,06 cm :

  Vboîte = 4 * 3,06 * (3,06-12) * (3,06-9)

              = 12,24 * 8,94 * 5,94

              ≈ 650 cm³