bonjour svp est ce que quelqu'un pourrait m'aider avec cette exercie pour dm .j'ai pas vraiment compris l'exercie . merci d'avance Soit la fonction définie sur

Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

Soit la fonction définie sur l'intervalle (-2; 4) par f(x) = x³ -3x²- 9x + 11. On note H la représentation graphique de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

1. Déterminer une équation de la tangente Tau point A de H d'abscisse 2.

L''équation de la tangente d'abscisse est de la forme

y =f'(2) ( x- 2) + f(2)

f(2) = (2)³ - 3 (2)² - 9(2) + 11 = 8 - 3×4 - 18 + 11 = 8 - 12 - 7 = - 11

f est une fonction dérivable sur [-2;4]

f'(x) = 3x² - 6x - 9

donc f'(2) = 3(2)² - 6(2) - 9 = 3× 4 - 12 - 9 = - 9

donc l'équation de la tangente est

y = - 9 (x - 2) + f(2) = - 9 x + 18 -11= -9x + 7

y = -9 x + 7

2. On définit sur (-2; 4) la fonction g par g(x)=f(x)-(-9x + 7).

a. Étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle (-2;4) et dresser son tableau de variation.

sur [-2;4], g(x) =f (x)-(-9x + 7)

g(x) = x³ -3x²- 9x + 11 - ( - 9 x + 7)

g(x) = x³ -3x²- 9x + 11 +  9 x - 7

g(x) = x³ -3x² + 4

g est dérivable sur [-2;4] donc

g'(x) = 3x ²- 6x = 3x ( x  - 2)

g' s'annule si 3x ( x  - 2)= 0

si 3x = 0 ou x - 2 = 0

si x = 0 ou x =2

Tableau de variation de g

x           - 2                  0                 2                   4

_________________________________________

3x                    -          ⊕         +                  +  

_________________________________________

x - 2                 -                       -      ⊕        +

__________________________________________

signe de         +           ⊕       -        ⊕        +

g'

___________________________________________

variation  croissante       décroissante     croissante

de g

g(0) = 4 et g(2) = 2³ -3(2)² + 4= 8 - 12 + 4 = 0

g(-2) = (-2)³ - 3 (-2)² + 4 = - 8 -12 + 4 = -16

g(4) = (4)³ - 3 (4)² + 4=  20

b. Calculer g(-1). Déterminer le signe de g sur l'intervalle (-2;4).

g(- 1) = (-1)³ -3(1)² + 4= - 1 - 3 + 4 = 0

sur [-2;-1], la fonction g est négative est sur [-1;4] la fonction est positive car

x                    - 2     - 1              0                             2                       4

variation        croissante         4     décroissante       croissante    20

de g                         ⊕      

                   - 16                                                      0

___________________________________________________

signe de              -    ⊕                    +

g

c. Déterminer la position de H par rapport à Tangente sur l'intervalle (-2;4).

g(x) ≤ 0 sur sur [-2;-1], donc f(x) - (-9x + 7) ≤ 0 donc f(x) ≤ ( - 9 x + 7)

donc la courbe H est en dessous de la tangente T

g(x) ≥ 0  sur sur [-1; 4], donc f(x) - (-9x + 7) ≥  0 donc f(x) ≥ ( - 9 x + 7)

donc la courbe H est au dessus de la tangente T

3. Donner un encadrement de glx) sur l'intervalle [0:41 puis sur l'intervalle (-2;4).

sur [0; 4] 0 ≤ g(x) ≤ 20

sur [-2; 4] -16≤g(x)≤20

4. Montrer que pour tout réel x de(-1;4), on a x³ >= 3x² -4.​

La question 2 b nous savons que  g(x) ≥ 0 sur [-1; 4] donc

g(x) = x³ -3x² + 4  ≥ 0 sur [-1; 4]

donc  x³ -3x² + 4  ≥ 0

donc x³ ≥ 3x² - 4