bonjour est ce que quelqu'un pourrait m'aider pour cet exercice SVP​

Réponse :

soit  x ∈ R

on pose  A = √(x²+1) - |x|   et   B = √(x²+1) + |x|

1) Montrer que :  A > 0  et en déduire que :   B > 2|x|

A = √(x²+1) - |x|   ⇔  A = [(√(x²+1) - |x|)(√(x²+1) + |x|)]/(√(x²+1) + |x|)

                                    = [(x² + 1) - |x|*|x|]/(√(x²+1) + |x|)  

or  |x|*|x| = |x*x| = |x²| = x²  car un carré est positif

donc  A = (x² + 1 - x²)/(√(x²+1) + |x|)  ⇔ A = 1/(√(x²+1) + |x|)  

or  (√(x²+1) + |x|)  > 0  et  1 > 0  donc  A = 1/(√(x²+1) + |x|) > 0

donc  A > 0

en déduire que B > 2|x|

A > 0  ⇔  √(x²+1) - |x| > 0  ⇔ √(x²+1) > |x|   ⇔ √(x²+1) + |x| > |x| + |x|  car |x| >0

⇔  √(x²+1) + |x| > 2|x|   ⇔ B > 2|x|

2) calculer AB

     AB = (√(x²+1) - |x|)*( √(x²+1) + |x|) = x² + 1 - x² = 1  ⇒ AB = 1

en déduire que A < 1/2|x|  pour  x ≠ 0

    AB = 1  ⇔ A = 1/B   et   sachant que  B > 2|x|   ⇔ 1/B < 1/2|x|

donc  A < 1/2|x|

3) démontrer que pour tout x ≠ 0

     |x| < √(x²+1) < |x| + 1/2|x|

    A < 1/2|x|  ⇔ √(x² + 1) - |x| < 1/2|x|  ⇔  √(x² + 1) - |x| + |x| < |x| + 1/2|x|    

⇔   √(x² + 1) < |x| + 1/2|x|  

   B > 2|x|  ⇔   √(x² + 1) + |x| > 2|x|  ⇔ √(x² + 1) + |x| - |x| > 2|x| - |x|

⇔ √(x² + 1) > |x|

donc   on a bien   |x| < √(x²+1) < |x| + 1/2|x|

Explications étape par étape :