On considère un triangle ABC rectangle en A tel que AB= x2-1 et AC= 2x où x est un réel supérieur à 1. a. Montrer que BC = x2+1. b.donner l’expression factorisé

Réponse :

ABC rectangle en A

AB = x²-1

AC = 2x

a) pythagore

BC²= (x²-1)²+(2x)²

BC²=x^4-2x²+1+4x²

BC²= x^4+2x²+1

BC²= a²+2ab+b²

BC²=(x²+1)²

BC = x²+1

b) P = x²-1+2x+x²+1

P = 2x²+2x

P = 2x(x+1)

c) A =[(x²-1)(2x)]/2

A = (2x^3-2x)/2 = x^3-x = x(x²-1)

Explications étape par étape :

bjr

remarque :

• AB = x² - 1

AB est une longueur, x² - 1 doit être positif

x² - 1 = (x - 1)(x + 1)

x² - 1 a deux racines 1 et -1 ;

il est positif pour les valeurs de x extérieures aux racines

donc pour x < -1 ou x > 1

• AC = 2x c'est une longueur

x doit être positif  

le triangle n'existe que pour les valeurs de x > 1

(pour x = 1  B est en A)

a)

Le triangle ABC est rectangle en A.

on utilise le théorème de Pythagore

BC² = BA² + AC²

BC² = (x² - 1)² + (2x)²

      = x⁴ -2x² + 1 + 4x²

      = x⁴ + 2x² + 1

     = (x²)² +2*x² * 1 + 1²            (a² + 2ab + b² = ...)

    = (x² + 1)²

BC = |x² + 1|             ( x² + 1 > 0)

BC = x² + 1  

b)

périmètre

P = AB + BC + CA = x² - 1 + x² + 1 + 2x = 2x² + 2x = 2x(x + 1)

c) aire

A =   (AB * AC)/2

  = (x² - 1)*2x /2

  = (x² - 1)*x

  = x³ - x

si on donne à x la valeur 2 on trouve le triangle 3 ; 4 ; 5

périmètre : 12

aire : 6