Bonjour à tous s'il vous plait Comparer 2019puissance2020 et 2020puissance2019 sans utiliser la fonction ni ln ni exp et merci

Réponse :

Bonsoir,

Voici la transcription de la démonstration de Vaison.

Explications étape par étape :

[tex]\forall\ k\ \in \mathbb{N}-\{0,2\}:\\\\k > (1+\dfrac{1}{k} )^k\\\\[/tex]

1) Initialisation:

[tex]3 > (1+\dfrac{1}{3} )^3\\3 > \dfrac{64}{27} =2.370\overline{370}\\[/tex]

2) Hérédité:

On suppose la propriété vraie pour k  et on démontre

qu'elle est vraie pour k+1.

[tex]\forall\ k\ \in \mathbb{N}-\{0,2\}: \ k > (1+\dfrac{1}{k} )^k\\\\1+\dfrac{1}{k} >1\\k*(1+\dfrac{1}{k}) > (1+\dfrac{1}{k} )^k*(1+\dfrac{1}{k})\\\\\Longrightarrow\ k+1 > (1+\dfrac{1}{k} )^{k+1}\\[/tex]

Ainsi:

[tex]2019 > (1+\dfrac{1}{2019} )^{2019}\\\\2019 > (\dfrac{2020}{2019} )^{2019}\\\\2019 > (\dfrac{2020^{2019} }{2019^{2019}} )\\\\2019*(2019)^{2019} > 2020^{2019}\\\\\boxed{2019^{2020} > 2020^{2019}}\\[/tex]