[Corrigé du Diplôme national du Brevet] - Session 2019 - Mathématiques [Série générale] - Métropole Bonjour, ce corrigé vous est proposé par l'équipe de modérat
Question
Bonjour, ce corrigé vous est proposé par l'équipe de modération de nosdevoirs.fr
Exercice 3
Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
Un sablier est composé de :
- Deux cylindres C1 et C2 de hauteur 4,2 cm et de diamètre 1,5 cm
- Un cylindre C3
- Deux demi-sphères S1 et S2 de diamètre 1,5 cm
On rappelle le volume V d'un cylindre d'aire de base B et de hauteur h :
• V = B × h
1) a) Au départ, le sable remplit le cylindre C₂ aux deux tiers. Montrer que le volume du sable est environ 4,95 cm³.
b) On retourne le sablier. En supposant que le débit d’écoulement du sable est constant et égal à 1,98 cm³/min, calculer le temps en minutes et secondes que va mettre le sable à s’écouler dans le cylindre inférieur.
2) En réalité, le débit d’écoulement d’un même sablier n’est pas constant.
Dans une usine où on fabrique des sabliers comme celui-ci, on prend un sablier au hasard et on teste plusieurs fois le temps d’écoulement dans ce sablier.
Voici les différents temps récapitulés dans le tableau suivant :
(voir PJ)
a) Combien de test ont été réalisés au total ?
b) Un sablier est mis en vente s'il vérifie les trois conditions ci-dessous, sinon il est éliminé.
• L'étendue des temps est inférieure à 20 s
• La médiane des temps est comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s
• La moyenne des temps est comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s
Le sablier testé sera-t-il éliminé ?
1 Réponse
-
1. Réponse Theo
Bonjour,
1) a) Le sable remplit le cylindre C₂ au deux tiers.
➡️ Calculons le volume de C₂ :
• V(C₂) = B × h
L'énoncé nous donne h = 4,2 cm
L'aire de la base B est tout simplement l'aire du disque de diamètre 1,5 cm et donc de rayon r = 1,5/2 = 0,75 cm :
• B = π × r² = π × 0,75²
Ainsi : V(C₂) = π × 0,75² × 4,2 cm³
➡️Le volume de sable est donc de :
• 2/3 × V(C₂)
= 2/3 × (π × 0,75² × 4,2)
≈ 4,95 cm³ (arrondi au centième près) ✅
b) On peut construire un tableau de proportionnalité :
• 1,98 cm³ → 1 minute
• 4,95 cm³ → ? minutes
Ainsi : ? = (1 × 4,95) ÷ 1,98 = 2,5 minutes
On sait que 0,5 min (la moitié d'une minute) vaut 30 secondes.
➡️ Le sable mettra 2 minutes et 30 secondes à s'écouler dans le cylindre inférieur ✅
2) a) Faisons la somme de tous les tests réalisés :
• 1 + 1 + 2 + 6 + 3 + 7 + 6 + 3 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3
= 40 tests ✅
b) Vérifions chaque condition :
• Étendue des temps = valeur max - valeur min
= 2 min 38 s - 2 min 22 s
= 16 secondes
➡️ L'étendue est bien inférieure à 20 secondes ✅
La médiane est la valeur du milieu de la série rangée dans l'ordre croissant (ce qui est le cas ici donc ça nous arrange).
Étant donné qu'il y a 40 valeurs, la médiane est la moyenne de la 20ème et de la 21ème valeur :
• 20ème valeur = 2 min 29 s
• 21ème valeur = 2 min 30 s
médiane des temps = (2 min 29 s + 2 min 30 s) ÷ 2 = 2 min 295 s
➡️La médiane des temps est bien comprise entre 2 min 29 s et 2 min 31 s ✅
Calcul de la moyenne M des temps (en secondes pour des raisons pratiques) :
→ On convertit les temps données en secondes, par exemple :
→ 2 min 22 s = (2 × 60) s + 22 s = 120 s + 22 s = 142 s
• M = (142 + 144 + 146 × 2 + 147 × 6 + 148 × 3 + 149 × 7 + 150 × 6 + 151 × 3 + 152 + 153 × 2 + 154 × 3 + 155 × 2 + 158 × 3) / 40
= 150,1 secondes
= (150,1 / 60) minutes
≈ 2,5 minutes (arrondi au dixième près) = 2 min 30 s
➡️La moyenne des temps est bien comprise entre 2 min 28 s et 2 min 32 s ✅
Conclusion : Comme toutes les conditions sont respectées, le sablier n'est pas éliminé ✅
Bon courage et bonnes révisions !
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