a et b deux nombres positifs. Comparer b/a + a/b et 2​

Réponse:

Etudions le signe de la difference entre (b/a + a/b) et 2

[tex] \frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2 = \\ \frac{ {b}^{2} }{ab} + \frac{ {a}^{2} }{ab} - \frac{2ab}{ab} = \\ \frac{ {a}^{2} - 2ab + {b}^{2} }{ab} = \\ \frac{ {(a - b)}^{2} }{ab} [/tex]

Or a et b etant deux nombres strictement positifs, ab > 0

et (a-b)² ≥ 0

donc

[tex] \frac{ {(a - b)}^{2} }{ab} \geqslant 0 \\ \frac{b}{a} - \frac{a}{b} \geqslant 2[/tex]