Aidez moi s'il vous plait, première STMG second degrés

Bonsoir
f(x) est de la forme de 
f(x) = ax² +bx +c    
on sait que 
f(-1) = 0   ; f(3) = 0    
que son sommet x = -b/2a = 1    donc que f(1) = 2 
on peut en déduire que 
f(-1) = 0  ====>  a - b + c = 0 
f(3) = 0 =====> 9a + 3b +c = 0 
f(1) = 2=====>  a + b + c = 2   soit a = 2 - b -c   qu'on remplace dans f(-1) 
on a alors 
2 - b -c - b +c = 0   =====>   2 - 2b = 0  alors b = -2/-2 = 1 
comme -b/2a = 1    alors a = -b/2 = -1/2 
avec f(3) on obtient 
9(2-b-c)+3+c = 0 
9( 1-c)+3+c = 0 
9 - 9c + 3+c = 0 
c = -12/-8 = 3/2 

On en déduit que 
f(x) = (-1/2)x² + x + 3/2 

f(x) = 3/2  pour x = 0 

f(x) ≥  0  ( je suppose )     pour  x ∈  [ -1 ; 3 ] 
Bonne soirée